Семинар ИПМех РАН «Асимптотические методы в математической физике»

<<<Под волновыми пучками мы понимаем специальные решения дифференциальных уравнений в частных производных, локализованные в окрестности некоторого отрезка. Мы рассматриваем пучок бесселевого типа, порожденный сферической функцией Бесселя j0, распространение которого описывается трехмерным волновым уравнением. Чтобы носитель решения перемещался, у начального пучка должен быть большой начальный вектор импульса. Это соображение позволяет перейти в параксиальное приближение и представить начальное условие в виде канонического оператора на некотором (некомпактном) трехмерном лагранжевом многообразии специального вида. При этом начальное многообразие содержит особенность типа вырожденной складки, т. е. асимптотика в центре пучка определяется сферической функцией Бесселя. Целью работы является изучение динамики начального лагранжева многообразия при сдвиге вдоль траекторий гамильтонова векторного поля с гамильтонианом, который соответствует параксиальному приближению для волнового уравнения, и построение асимптотики пучка. Оказывается, что в этом случае пучок расплывается, а особенность на многообразии распадается. В частности, на сдвинутом многообразии появляются особенности типа складки и сборки, а также особенность не общего положения, в окрестности которой асимптотика определяется функцией ошибок.

<<<Волновая функция, описывающая многоэлектронный атом, обладает известным свойством (анти)симметрии, выражающимся в принципе Паули. Разные версии метода квантового Монте-Карло позволяют получить точное (с наперед заданной точностью) решение уравнения Шредингера для систем со знакопостоянной волновой функцией. Чтобы получать такое решение и для знакопеременных волновых функций, необходимо знать структуру их узлов. В докладе обсуждается постановка задачи определения узловых поверхностей атомных волновых функций, а также некоторые подходы к её решению.

<<<Будет изложен метод осреднения для операторов с быстроосциллирующими коэффициентами, предназначенный для использования в задачах о квазиклассических асимптотиках и не предполагающий периодической структуры осцилляций коэффициентов. Исследуются алгебры локально усреднимых функций, доказывается теорема об осреднении для дифференциальных операторов общего вида, некоторые особенности применения метода иллюстрируются на примере волнового уравнения.

<<<В докладе представлен аналитический метод нахождения собственных функций оператора Грэда-Шафранова D* на осесимметричной тороидальной поверхности. Спектральная задача сводится к однородному интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода с ядром, содержащим функцию Грина оператора D*. Его собственные решения на торе найдены с использованием аппроксимации функции Грина в пределе большого аспектного отношения (отношения большого и малого радиусов тора) и определяют собственные моды наведённого тока в магнито-тонкой резистивной камере. Проведено сравнение собственных мод и характерных времен затухания тока, найденных аналитически для тора с круглым и эллиптическим сечениями, с результатами численного моделирования.

<<<Доклад посвящен рассказу теории самосопряженных расширений симметрических операторов, возникающий в уравнениях математической физики. Формулируются основные определения и утверждения из теории операторов, позволяющие задавать классы функций, на которых выполнение граничных условий влечет корректность соответствующей задачи. В качестве примера рассматриваются операторы второй производной на полупрямой и Лапласа-Бельтрами на поверхности с коническими особенностями.

<<<В работе А.Ю. Аникина, С.Ю. Доброхотова, В.Е. Назайкинского, М. Руло описан алгоритм построения асимптотического решения псевдодифференциальных уравнений с локализованной правой частью в виде канонического оператора на лагранжевом многообразии состоящем из траекторий системы Гамильтона, выпущенных из поверхности нулевого уровня Гамильтониана в точке источника. Основным условием для применения этого алгоритма является покидание лучами любой конечной области конфигурационного пространства за конечное время. Рассмотрены примеры, когда это условие не выполняется. Для части случаев искомое многообразие - многообразие с краем, асимптотика решения в окрестности проекции которого выражается через функции параболического цилиндра. Также для этих случаев вычислены асимптотики в области тени при помощи леммы Эрдейи.

<<<Рассматриваются комплексы операторов, ассоциированных с расслоением. Даются условия эллиптичности таких комплексов, при выполнении которых комплексы фредгольмовы в соответствующих пространствах Соболева. Далее рассматривается геометрический эндоморфизм комплекса, отвечающий послойному диффеоморфизму тотального пространства расслоения. В качестве основного результата будет представлена теорема типа Атьи-Ботта-Лефшеца, которая выражает число Лефшеца эндоморфизма в терминах невырожденных неподвижных точек соответствующих диффеоморфизмов.

<<<Мы рассматриваем полиномы H_{nm}, являющиеся двумерным аналогом классических полиномов Эрмита и определяемые системой рекуррентных соотношений: H_{n+1,m}(z,a)=(z+a)H_{n,m}-1/2(nH_{n-1,m}+mH_{n_,m-1}), H_{n,m+1}(z,a)=(z-a)H_{n,m}-1/2(nH_{n-1,m}+mH_{n_,m-1}) с начальными условиями H_{0,0}(z,a)= 1, H_{n,-1}(z,a)= H_{-1,n}(z,a)=0, n>1. Нас интересует асимптотика диагональных полиномов H_{nn} при стремлении n к бесконечности. Вводя функцию F(x,z,a): F(nh,z,a)=H_{nn}(z,a), имеющуюся систему можно свести к псевдодифференциальному уравнению, порождающему три моды. Полученное уравнение можно разбить на два так, что решение первого из уравнений имеет вид ВКБ, а решение второго уравнения представляется в виде линейной комбинации Ai и Ai. Остается вопрос о том, как использовать начальные условия для полиномов, т. е. правильным образом ╚сшить╩ полученные решения.

<<<Обсуждается простой "наивный" способ получения асимптотических решений в широкой окрестности стандартных и нестандартных каустик (например, передних фронтов) в виде специальных функций с искаженным аргументом. Способ основан на следующих соображениях 1) В реальных задачах асимптотики, за редким исключением, записываются в параметрической форме- и это лучшая форма записи ответа, 2) параметры в такой записи - это подходящие координаты на соответствующем лагранжевом многообразии.

<<<Строится усреднение задачи Коши для волнового уравнения в недивергентной форме с быстроосциллирующим коэффициентом и с начальным возмущением в виде локализованной функции. Параметры осцилляций и начального возмущения выбираются таким образом, что усредненное уравнение имеет вид линеаризованного уравнения Буссинеска. Для усредненной задачи Коши строится асимптотика решения с помощью модифицированного канонического оператора Маслова.

<<<Предлагается метод описания физических процессов в горных породах, основанный на точном описании процесса на микроскопическом уровне (средний размер пор) на основе законов классической механики сплошных сред с последующим строгим усреднением с помощью метода двух-масштабной сходимости. Предполагается, что твердый скелет является упругим телом, а поры и трещины скелета заполнены вязким флюидом. Следуя К. Касахаре (Механика землетрясений, М. Мир, 1985), очаг землетрясений моделируется разломом (трещиной). Математическая модель процесса состоит из уравнений Ламе для твердого скелета и уравнений Стокса для жидкости (газа) в порах и трещинах, дополненных соответствующими краевыми и начальными условиями. Сам физический процесс делится на два этапа: 1) накопление энергии в трещине, 2) разрыв трещины, генерирующий сейсмические волны. Поскольку указанные явления имеют различное характерное время физического процесса, первый процесс описывается стационарными уравнениями Стокса и Ламе, а второй √ нестационарными. При этом граница разлома на втором этапе будет свободной (неизвестной) и должна определятся из дополнительного краевого условия на этой границе.

<<<В работе представлен вариационный метод решения граничной задачи о расчете лучевых траекторий коротких волн, основанный на принципе Ферма. Предложенный метод наилучшим образом подходят для решения задач, где начальное направление распространения волны неизвестно, но вместо этого задано положение пункта регистрации волны. Идея метода заключается в итерационной процедуре оптимизации некоторого начального приближения к оптимальной конфигурации √ искомой лучевой траектории. Процесс сходимости управляется обобщенной силой, где определение силы зависит от типа луча. Для лучей, соответствующих минимумам, используется отрицательный градиент функционала Ферма. Для лучей, соответствующих экстремумам седлового типа, применяется преобразование градиента, модифицирующее окрестность седловой точки в окрестность локального минимума. Информация о характере лучей используется для установления схемы систематического поиска всех лучей между заданными точками без необходимости подбора начального приближения для каждого решения. Применение метода в неоднородной среде демонстрирует его способность разрешать сложные конфигурации лучей, включая трехмерное распространение и многолучевое распространение, когда лучи имеют близкие параметры излучения.

<<<В докладе будет рассказано о результатах исследований спектров операторов квантовых резонансных электромагнитных ловушек, таких как пространственные и планарные ловушки Пеннинга, рассмотренных в серии работ М.В. Карасева, Е.М. Новиковой и Е.В Выборного. В подобных системах заряженная частица находится в малой окрестности положения равновесия постоянного электрического поля, которое не является устойчивым (следовая точка), но наличие постоянного внешнего магнитного поля приводит к удержанию частицы в окрестности этого равновесия. Гамильтониан частицы в окрестности равновесия принимает вид квадратичной части гиперболического типа с сигнатурой (+,+,-) и малых ангармонических поправок. Будет показано, как, применяя методы квантового усреднения, исследовать влияние ангармонических поправок на спектр при резонансе частот главной части гамильтониана. Системы с частотным резонансом приводят к алгебрам симметрий с нелинейными коммутационными соотношениями, а усреднённые ангармонические члены представляются в виде функций от конечного набора образующих операторов в этих алгебрах. Далее, полученные операторы исследуются методами квазиклассического приближении, что позволяет построить асимптотический спектр и описание туннельных эффектов в подобных системах.

<<<В докладе будет обсуждаться следующая задача. Дан одномерный оператор Шредингера с потенциалом, имеющим одну яму. Его спектр с точностью до $O(h^2)$ дается значениями гамильтониана на замкнутых инвариантных кривых $\Lambda_n$, удовлетворяющих правилу Бора-Зоммерфельда. Дана функция, представимая в виде канонического оператора на замкнутой кривой $\Gamma$ (тоже удовлетворяющей правилу Бора-Зоммерфельда) от некоторой амплитуды. При некоторых дополнительных предположениях на потенциал доказывается, что с любой степенной точностью по $h$ эта функция может быть разложена по тем собственным функциям (настоящим или асимптотическим), которые отвечают кривым $\Lambda_n$, имеющим пустое пересечение с некоторой не зависящей от $h$ окрестностью кривой $\Gamma$. Также в докладе будет обсуждаться так называемая, квантовая адиабатическая теорема в квазиклассическом приближении, выступающая в качестве мотивировки для рассматриваемой выше задачи. Она была сформулированная в виде гипотезы в работе Куксина и Нейштадта. В этой теореме рассматривается решение нестационарного уравнения Шредингера с одномерным потенциалом вида одной ямы, плавно меняющимся со временем. Таким образом, в задаче два малых параметра: квазиклассический $h$ и адиабатический $\varepsilon$. В качестве начального условия берется собственная функция оператора Шредингера отвечающая начальному моменту времени. Квантовая адиабатическая теорема дает оценки для близости решения в момент $t= 1/\varepsilon$ к некоторому подпространству собственных функций оператора при $t= 1/\varepsilon$. Эта теорема представляет собой квазиклассический аналог факта из классической механики о том, что действие есть адиабатический инвариант, т.е. на временах $\sim 1/\varepsilon$ меняется на величину $O(\varepsilon)$.

<<<Интегрируемые системы с двумя степенями свободы на изоэнергетических трехмерных поверхностях классифицируются инвариантами, т.н. ╚мечеными молекулами╩. В последнее время был обнаружен важный класс биллиардных книжек √ биллиардов на клеточных комплексах, склеенных из плоских биллиардов-листов. В частном случае √ когда комплекс является ориентируемым многообразием, такой биллиард является так называемым топологическим биллиардом. Оказалось, что такие биллиарды (топологические и книжки) лиувиллево эквивалентны многим интересным интегрируемым системам в механике и симплектической геометрии (то есть такие эквивалентные системы имеют одинаковые замыкания почти всех интегральных траекторий). Опираясь на уже полученные результаты, А.Т.Фоменко сформулировал гипотезу из 6 пунктов, первый из которой уже доказан, а в остальных получены интересные продвижения. Приведем первые 3 пункта. Гипотеза A (атомы). Любые бифуркации двумерных торов Лиувилля в изоэнергетическом 3-многообразии любой интегрируемой невырожденной системы с двумя степенями свободы моделируются при помощи интегрируемых бильярдов. Это означает, что сравниваемые слоения Лиувилля послойно диффеоморфны. Гипотеза B (грубые молекулы). Любые грубые молекулы, задающие множество всех интегрируемых систем с точностью до грубой эквивалентности - моделируются интегрируемыми биллиардами. Гипотеза C (меченые молекулы). Многие слоения Лиувилля невырожденных интегрируемых систем на изоэнергетических 3-поверхностях послойно диффеоморфны (т.е. лиувиллево эквивалентны) соответствующим слоениям некоторого топологического биллиарда. Любой ответ на эти гипотезы интересен. Например, если выяснится, что не все ╚меченые молекулы╩ реализуются биллиардами, то полезно описать класс реализуемых систем. При этом обнаружатся топологические препятствия, различающие реализуемые и нереализуемые слоения Лиувилля. Станет ясно - какие невырожденные интегрируемые системы лиувиллево эквивалентны интегрируемым биллиардам, а какие - нет. В докладе будут представлены текущие результаты по доказательству (или опровержению) этих гипотез. Так, в частности, гипотеза В доказана "почти полностью" а именно, получено доказательство для молекул, состоящих из т.н. атомов без звездочек, описывающих бифуркации с ориентируемыми сепаратрисными диаграммами. Будет также рассказано, что интегрируемые геодезические потоки на ориентируемых двумерных поверхностях лиувиллево эквивалентны подходящим топологическим биллиардам.

<<<Изучается асимптотическое решение задачи Коши с локализованными начальными данными для уравнения колебаний в кристаллической решетке. С помощью операторов сдвига эта задача приводится к задаче для непрерывных функций с псевдодифференциальным оператором. В задаче присутствует два малых параметра: шаг кристаллической решетки и параметр локализации начального возмущения. В зависимости от соотношения между этими параметрами асимптотика решения имеет различное представление. Мы строим асимптотическое решение непрерывной задачи в окрестности переднего фронта волны в неособых точках при различных предположениях относительно соотношения между малыми параметрами задачи. Приводятся оценки погрешности для асимптотики.

<<<В докладе будет рассматриваться задача, описывающая распространение волн в графене с линейным потенциалом, порожденных локализованным возмущением. Для преобразования Фурье решения можно написать явную формулу, использую функции параболического цилиндра. Эта явная формула допускает асимптотическое упрощение при малом h в виде ВКБ-разложения. Затем можно найти поверхности стационарных точек преобразования Фурье и изучить их особенности.

<<<В докладе будет предложен метод построения асимптотических собственных функций заданного в двумерной области $\Omega$ оператора $\nabla D(x_1,x_2)\nabla$ с вырождающимся на ее границе коэффициентом $D(x)$. Такие операторы возникают, например, в задачах о длинных волнах на воде, захваченных берегами и островами. Эти собственные функции связаны с аналогами торов Лиувилля интегрируемых геодезических потоков с вырождающейся на границе области метрикой, определяемой гамильтоновой системой с гамильтонианом $D(x) |p|^2$. Необычность ситуации, например, по сравнению с ситуацией интегрируемых двумерных бильярдов состоит в том, что импульсные компоненты траекторий на таких "торах"обращаются в бесконечность на границе области, где $D(x)=0$, хотя их проекции на плоскость образуют компактные множества, как правило, диффеоморфные кольцам. Мы называем такие системы бильярдами с полужесткими стенками.

<<<В докладе рассматриваются два подхода к построению асимптотики: метод, предложенный В.П. Масловым и В. Г. Даниловым, основанный на построении параметрикса, и метод, предложенный С. Ю. Доброхотовым и В. Е. Назайкинским, основанный на вертикальном лагранжевом многообразии. Изучается поведение асимптотики в окрестности переднего фронта волны. Показано, что в этой окрестности оба метода приводят к одному и тому же ответу.

<<<Рассматривается оператор Шредингера, отвечающий задаче о вращающихся димерах, с квазиклассическим малым параметром. Соответствующая классическая система имеет 4 степени свободы и представляет из себя две частицы, находящиеся в плоском периодическом потенциальном поле с тригональной симметрией и соединенные пружиной. Изучается туннельная асимптотика нижних спектральных зон этого оператора (т. е. вблизи минимума потенциала).

<<<В докладе будет рассказано о необходимом и достаточном условии того, что данный оператор плотности является стационарным решением для некоторого класса уравнений Линдблада в теории открытых квантовых систем. Это условие основано на свойствах функционала, который в некоторых случаях соответствует производству энтропии. Будут приведены примеры использования этого условия для нахождения стационарных решений.

<<<Рассматривается оператор Шредингера, отвечающий задаче о вращающихся димерах, с квазиклассическим малым параметром. Соответствующая классическая система имеет 4 степени свободы и представляет из себя две частицы, находящиеся в плоском периодическом потенциальном поле с тригональной симметрией и соединенные пружиной. Изучается туннельная асимптотика нижних спектральных зон этого оператора (т. е. вблизи минимума потенциала).

<<<Рассматривается первая смешанная задача для системы уравнений Власова≈Пуассона в случае бесконечного цилиндра и полупространства. Эта задача описывает кинетику заряженных частиц высокотемпературной плазмы при наличии внешнего магнитного поля. Построены стационарные решения системы уравнений Власова≈Пуассона с нулевым потенциалом самосогласованного электрического поля, с носителями функций плотностей распределения, лежащими на некотором расстоянии от границы рассматриваемой области. В случае полупространства построено стационарное решение с компактным носителем.

<<<Доклад посвящен вопросам асимптотического анализа систем ОДУ, а также систем УЧП с оператором Стокса в главной части, содержащих быстро осциллирующие по времени слагаемые. Спецификой рассматриваемых систем является наличие в них высокочастотных слагаемых, пропорциональных определенным неотрицательным степеням частоты (большие высокочастотные слагаемые), а также вырожденность предельных задач в случае УЧП. Системы такого рода встречаются в теоретической механике, гидродинамике и других разделах естествознания; например, в задачах связанных с высокочастотным вибрационным воздействием на механические объекты и контейнеры с жидкостью. Ключевыми вопросами в докладе являются существование и единственность периодических по времени решений, а также построение и обоснование их полных асимптотик.

<<<В одномерной ситуации рассматривается линейная задача о возбуждении поверхностных волн движущимся по дну бассейна локализованным источником. Показано, что при условии, что скорость движения источника не превосходит характерной скорости длинных волн, профиль возбужденной на поверхности жидкости волны определяется ускорением движущегося центра придонного возмущения, а ее длина произведением характерной скорости длинных волн и времени действия источника . Обсуждаются вопросы влияния дисперсионных эффектов на образующуюся поверхностную волну.

<<<В докладе рассматривается математическая модель конического автоэмиссионного катода из кремния. Модель позволяет вычислить распределение потенциала и напряженность электрического поля в катоде и в пространстве между катодом и анодом. Сравнивается три варианта пространственной модели: область, включающая только катод, катод и пространство вокруг катода, так что анод находится в одной плоскости с верхним основанием катода и вариант, в котором имеется зазор между катодом и анодом. Выполнено сравнение результатов расчетов для этих трех вариантов области моделирования, приведена зависимость напряженности поля от угла катода, расстояния между катодом и анодом (для третьего варианта). Приводятся результаты численного решении уравнения Лапласа с помощью метода конечных разностей (вариант I) и метода конечных элементов (варианты II и III). Отдельно рассмотрен еще один вариант вычисления потенциала в системе катод-анод, учитывающий коэффициент прозрачности барьера на поверхности эмиссии. Модель, представленная в докладе, является частью более общей модели, предназначенной для моделирования плавления и распределения тепла в автоэмиссион-ном катоде.

<<<Рассматривается дисперсионное соотношение для линеаризованной системы Власова-Пуассона. Корни соответствующего уравнения √ суть нули мероморфной функции - определяют собственные моды задачи. При этом нулям с положительной мнимой частью соответствуют неустойчивые моды. Оценка их количества представляет физический интерес. Предложена методика оценки числа неустойчивых мод, основанная на связи между количеством нулей определенного вида мероморфной функции с числом перемен знаков в последовательности коэффициентов ее разложения на элементарные дроби.

<<<Исследуются математические свойства трех моделей движения водных растворов полимера: модель Войткунского, Амфилохиева, и Павловского (1970), ее модификация в предельном случае малых времен релаксации (Павловский, 1971) и модель жидкости 2-го порядка (Ривлин и Эриксен, 1955). Изучены плоские нестационарные движения во всех трех моделях. В первом случае их свойства аналогичны свойствам движения обычной вязкой несжимаемой жидкости. В двух других моделях возможно образование слабых разрывов, которые сохраняются в процессе движения. Найдено семейство точных решений, описывающих стационарные и нестационарные плоские и осесимметричные движения вблизи критической точки. Соответствующие им уравнения имеют двойное вырождение за счет обращения в нуль коэффициента при старшей производной на стенке и за счет малости параметра релаксационной вязкости, входящего в этот коэффициент. Оказалось, что две эти сингулярности нейтрализуют друг друга, и полученные решения не содержат функций типа пограничного слоя. Рассмотрены задачи о движении полимерного раствора в цилиндрической трубе под действием продольного градиента давления. Здесь существуют течения с прямолинейными траекториями, аналогичные течению Пуазейля в первых двух моделях с давлением, не зависящим от поперечных координат. Однако в третьей модели прямолинейность траекторий сохраняется, но давление зависит от всех трех пространственных переменных. Для периодических по времени движений здесь поперечный градиент давления колеблется с удвоенной частотой по сравнению с частотой колебаний продольного градиента.

<<<Исследуются вольтерровы интегро-дифференциальные уравнения с неограниченными операторными коэффициентами, являющиеся операторными моделями интегро-дифференциальных уравнений в частных производных, возникающих в теории вязкоупругости и теплофизике. Установлена корректная разрешимость указанных уравнений в пространствах Соболева вектор-функций, а также проведен спектральный анализ оператор-функций, являющихся символами этих уравнений, указана локализация и структура их спектра. Получены представления решений интегро-дифференциальных уравнений в виде сумм рядов по экспонентам, отвечающим точкам спектра указанных оператор-функций.

<<<В докладе представлены глобальные формулы в виде функции Эйри сложного аргумента для асимптотических собственных функций одномерных матричных пучков (псевдо)дифференциальных операторов. В качестве примеров рассмотрены радиально-симметрические задачи для оператора Шредингера и асимптотические собственные функции для графена с радиально симметричным электрических потенциалом и постоянным магнитным полем.

<<<В докладе обсуждаются асимптотические решения задачи Коши для одномерного волнового уравнения с локализованными начальными условиями. Рассматриваются уравнения на прямой, полупрямой и простейших геометрических графах. Описан полный асимптотический ряд для решения; показано, что предельные функции удовлетворяют задачам Гурса и Дарбу. Обсуждается распределение энергии при отражении от вершин графа.

<<<Полиномы Эрмита - очень хорошо изученный математический объект. Они определяются по крайней мере двумя способами: 1) с помощью уравнения Шредингера для гармонического осциллятора и 2) рекуррентных уравнений. Для построения решений этих уравнений можно использовать канонический оператор Маслова, которые связаны с одномерными лагранжевыми многообразиями (в первом случае такие асимптотики хорошо известны). В результате получается два типа асимптотик, которые и обсуждаются в докладе.

<<<В работе собственные колебания (СК) баротропной жидкости с произвольным законом баротропии, заполняющей замкнутый резервуар и находящейся под действием произвольного потенциального гравитационного поля, исследуются аналитически вариационными методами. Форма резервуара имеет большую степень произвольности, но при этом дополнительно рассматриваются и резервуары нескольких конкретных форм. Как известно, функционал, экстремалями которого на соответствующих подпространствах являются моды СК, а экстремальными значениями √ квадраты частот СК, представляют собой отношение второй вариации полной потенциальной энергии (ППЭ) системы к ее удвоенной кинетической энергии (где вместо скоростей подставлены малые смещения). Ключевым моментом исследования является использование полученного ранее [1, 2] ╚канонического╩ вида второй вариации ППЭ, выявляющего знак каждого ее слагаемого (из которых в данном случае остается только одно). Применительно к рассматриваемой задаче доказываются модификации основополагающих теорем теории СК упругих тел, имеющие ряд существенных отличий от известных классических теорем данной теории, что обусловлено прежде всего наличием бесконечномерного подпространства нейтральных возмущений (которые можно трактовать как СК с нулевой частотой).

<<<В докладе будет рассказано об исследованиях гемодинамики головного мозга проводимых в Институте гидродинамики СО РАН совместно с нейрохирургами Клиники им.Мешалкина. Математическое и компьютерное моделирование основывается на мониторинге гемодинамики головного мозга-измерениях давления и скорости кровотока-проводимого непосредственно во время нейрохирургических операций.Разработаны рекомендации по оптимизации нейрохирургических операций,применяемые на практике.Будет рассказано о математических задачах,возникающих при моделировании гемодинамики.

<<<Рассматривается задача Штурма-Лиувилля \varepsilon y'' +q(x, \lambda) y = 0, где $q$ --- целая по $x$ и аналитическая по $\lambda$ функция в некоторой области $G \subset \mathbb C$. Здесь $\lambda$ вообще говоря, нелинейный спектральный параметр (случай $q(x,\lambda) = q(x) -\lambda$ отвечает обычной спектральной задаче), а $\varepsilon$ --- физический параметр. Наша цель --- изучить поведение спектра этой задачи на отрезке, полуоси, всей оси или кривых в комплексной плоскости (естественно, в случае отрезка или полуоси ставятся краевые условия). Мы покажем, что при $\varepsilon \to 0$ спектр этой задачи локализуется в малой окрестности некоторого множества, называемого нами предельным спектральным графом. Мы укажем уравнения кривых, составляющих предельный спектральный граф и получим формулы распределения собственных значений вдоль этих кривых (формулы квантования). Будет показана связь рассматриваемой задачи с известной в гидромеханике задачей Орра-Зоммерфельда.

<<<Мы изучаем стационарные решения уравнения Шредингера с монотонным потенциалом U в некотором многогранном угле (камере Вейля) с граничным условием Дирихле. Потенциал имеет вид U(x) = \sum_{i=1}^n V(x_i), \; x\in\mathbb R^n c монотонно возрастающей функцией V(y). Получены квазиклассические асимптотики собственных функций и собственных значений. По ходу дела объясняется, как из канонического оператора Маслова получить ответ в виде функции Эйри далеко от фокальных точек.

<<<В докладе будет рассказано о теории дисперсионных ударных волн, описываемых интегрируемыми нелинейными волновыми уравнениями. Будет указан достаточно общий метод, позволяющий в единой схеме строить как периодические решения таких волновых уравнений в эффективной форме и параметризованных инвариантами Уизема соответствующей модуляционной системы, так и выводить модуляционные уравнения Уизема. Особое внимание будет уделено нетривиальному случаю ╚невыпуклой дисперсионной гидродинамики╩, когда одному решению уравнений Уизема соответствуют две различных волновых структуры. В качестве приложения метода будет изложено решение проблемы Римана о классификации волновых структур, возникающих при распаде начального разрыва в теории двухжидкостной дисперсионной гидродинамики, описывающей течение двухкомпонентного бозе-эйнштейновского конденсата. В заключение будут указаны другие приложения теории и рассказано об учёте в её рамках малых диссипативных эффектов.

<<<Для волнового уравнения с двумя пространственными переменными, в котором скорость распространения волн вырождается на границе области как корень квадратный из расстояния до границы, рассматривается задача Коши с локализованными начальными условиями, моделирующая в линейном приближении набег длинных океанических волн на пологий берег. Ранее С.Ю. Доброхотовым, В.Е. Назайкинским и Б. Тироцци был разработан метод построения асимптотических решений такого рода задач на основе модифицированного канонического оператора Маслова и нестандартных (неограниченных по импульсным переменным) характеристик, образующих лагранжево многообразие в специальном фазовом пространстве, соответствующем задаче. В докладе для такого асимптотического решения выводятся простые формулы, описывающие его поведение вблизи границы "--- кривой вырождения. Для случая источника специального вида асимптотическое решение допускает дальнейшее упрощение, а именно, оно задается конечными формулами вне окрестности сильной каустики, а в ее окрестности, в случае каустики общего положения "--- эталонным интегралом от некоторой алгебраической функции. Изложенные в докладе результаты получены совместно с С.Ю. Доброхотовым.

<<<В докладе рассматриваются задача о спектральных сериях самосопряженных псевдодифференциальных операторов с вейлевским символом H(p,x)+hL(p,x)+O(h^2), в предположении что гамильтонова система с гамильтонианом Н вполне интегрируема и допускает семейство инвариантных лагранжевых торов (торов Лиувилля). Обсуждается вопрос как строить асимптотические собственные функции и собственные значения (квазимоды) в случае, когда субглавный символ L не обращается в ноль.

<<<В докладе рассматриваются результаты численного решения задачи Коши для волнового уравнения, усредненного с помощью метода, разработанного С.Ю. Доброхотовым, В Е. Назайкинским и Б. Тироцци. Производится сравнение с решением задачи Коши для исходного волнового уравнения. Приводится оценка и сравнение теоретических значений малых параметров и их значений в реальных примерах.

<<<В докладе будет обсуждаться полезный трюк для вычисления асимптотических решений стационарных задач для дифференциальных или псевдодифференциальных уравнений с матрично-значным символом. При использовании стандартного подхода из теории Маслова необходимо изучать гамильтоновы системы, отвечающие собственным значениям главного матричного символа (эти собственные значения называются эффективными гамильтонианами, термами или модами). Однако в сложных физических задачах термы могут не вычисляться аналитически. Мы показываем, что для построения асимптотических решений (по крайней мере, в случае отсутствия смены кратности) достаточно изучать гамильтонову систему, связанную с определителем символа (который, в свою очередь, аналитически вычисляется). В качестве примера будет рассмотрена задача о построении асимптотик стационарных решений системы уравнений, описывающих движение холодной плазмы в ТОКАМАКе.

<<<Задача Римана ≈ Гильберта состоит в нахождении аналитической в области B функции F = u + iv по заданному на границе ?B соотношению au ? bv = c между ее вещественной и мнимой частями. Рассмотрен сингулярный случай этой задачи, когда граничные данные a, b и c разрывны, а искомая функция подчинена условиям роста (в том числе неинтегрируемого). Функция F(z) представлена в виде суперпозиции конформного отображения ? области B на полуплоскость H + и решения P + соответствующей задачи Римана ≈ Гильберта в H + . Дан метод построения функции P + в терминах модифицированного интеграла типа Коши и кратко ≈ обзор методов построения конформного отображения ?. Функция Лауричеллы F (N) D представляет собой обобщение классической гипергеометрической функции Гаусса на случай N комплексных переменных. Дано решение проблемы аналитического продолжения этой функции, т.е. ее представление вне поликруга U N , где она изначально определена в виде N√кратного гипергеометрического ряда, через комбинации других обобщенных гипергеометрических рядов, сходящихся вне этого поликруга. Кроме того, для функции Лауричеллы выведены дифференциальные соотношения, являющиеся обобщением известного для гипергеометрической функции Гаусса тождества Якоби. С помощью этих формул типа Якоби для функции Лауричеллы получено принципиально новое представление решения P + сингулярной задачи Римана ≈ Гильберта, когда данные задачи a, b и c кусочно√постоянны, в виде интеграла типа Кристоффеля ≈ Шварца, осуществляющего отображение H + на неоднолистный многоугольник. Такое представление решает проблему Римана о геометрической интерпретации решения рассматриваемой задачи и является более удобным, чем традиционное представление через интегралы типа Коши, для численной реализации и теоретического анализа. Дано приложение этих результатов к ряду задач астрофизики, относящихся к моделированию вспышек на Солнце и магнитосфер нейтронных звезд.

<<<В докладе будут приведен пример физической системы, в которой возникает "конфликт" внутренней геометрии системы и метрики пространства, в которое данная система вложена. Конкретно, мы рассмотрим оптимальную форму экспоненциально быстро растущей поверхности (листа салата или колонии клеток) в евклидовом пространстве. Естественно возникающая в такой задаче дискретизация вместе с условием несжимаемости позволяют найти непрерывно-дифференцируемую изометрию поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. Мы покажем, что условие изометричности вложения гиперболического графа в 3D аналогично минимизации эффективного действия, и приводит к уравнению эйконала на профиль границы растущей поверхности с эффективным "показателем преломления", определяемым специальным конформным преобразованием.

<<<В докладе приводятся результаты математического моделирования теплопереноса и плавления при эмиссии из малоразмерного полупроводникового катода, имеющего форму усеченного конуса. Наша модель состоит из уравнения теплопроводности (с правой частью, соответствующей нагреву за счет Джоулева тепла), уравнения для плотности тока внутри катода, уравнения, связывающего плотность тока и потенциал электрического поля и условий на свободных границах (границах между твердой и жидкой фазами), которые называются условиями Стефана и Гиббса-Томсона. Модель учитывает некоторые особенности настоящего катода, такие как малый размер (высота катода около 10 √ 15 мкм) и очень высокую плотность тока, что является причиной возможного плавления. Последнее приводит к задаче со свободной границей.

<<<Обсуждаются простейшие свойства оператора Лапласа и волнового уравнения на двумерных многогранниках. Такие задачи связаны, в частности, с описанием рассеяния волн на точечных препятствиях (например, длинных волн в океане на мелких островах). Квазиклассические формулы для решений волнового уравнения содержат канонический оператор на некомпактных лагранжевых многообразиях.

<<<Рассматриваются неоднородные дифференциальные и псевдодифференциальные уравнения с пространственно-локализованными правыми частями, в частности с дельта-функцией Дирака. В качестве примеров рассматриваются уравнения Гельмгольца и линейные уравнения теории волн на воде. Асимптотике функции Грина для уравнения Гельмгольца посвящены работы многих известных ученых (Дж.Келлера, В.М.Бабича, В.В.Кучеренко и др.). Предлагается другой подход, основанный на одном соображении Мельроуза, Ульмана, Стернина и Шаталова, апеллирующем к паре лагранжевых многообразий и работающий не только для уравнения Гельмгольца. Описан способ построения этих многообразий и канонического оператора Маслова на них, определяющего асимптотику решения исходной задачи.

<<<I. Сконструированы новые типы точных, нестационарных решений в газовой динамике на основе уравнений Навье-Стокса (задача Коши для течения во всем пространстве). II. Построенные решения подробно изучены. Выявлены общие закономерности для всех изученных типов решений, базисом являются особенности общих решений уравнений типа Риккати (с финитными областями существования непрерывного решения). III. Получено представление общего нестационарного решения уравнений Навье-Стокса для задачи Коши во всем пространстве.

<<<Рассматривается задача Коши с локализованными начальными данными для двумерного уравнения линейной теории поверхностных волн на воде и двумерных уравнений кристаллической решетки. Показано, что асимптотика решений таких задач описывается лагранжевыми многообразиями с выколотой точкой. Также показано, что асимптотика решения в окрестности переднего фронта описывается гамильтоновой системой, соответствующей предельному волновому уравнению и коэффициентами, определяющим дисперсию в линеаризованном уравнении Буссинеска, приближающему изучаемые уравнения.

<<<Рассмотрим ансамбль случайных симметричных матриц размера NxN (N>>1), элементы которых могут принимать значения "1" с вероятностью q или "0" с вероятностью 1-q. Наc интересует спектральная статистика такого ансамбля в точке перколяции, q=1/N. Можно показать, что в этой точке примерно 95% всех возможных подграфов - линейные цепочки с экспоненциальным распределением по длинам, т.е. операторов, задаваемых двухдиагональными матрицами. Распределение плотности собственных значений таких операторов имеет простую теоретико-числовую неархимедову структуру. Анализ хвостов спектральной плотности позволяет высказать гипотезу о том, что в определенном пределе спектральная плотность может быть выражена в терминах модулярных функций (а именно, eta-функции Дедекинда). Предполагается также обсудить связь данной задачи с рядом физических проблем: филлотаксисом, определением оптимальной формой листов растений вложенных в трехмерное пространство.

<<<Система лучей - это лагранжево подмногообразие, лежащее на световой гиперповерхности фазового пространства и состоящее из ее характеристик. Система лучей определяется своим начальным условием -- гладким лагранжевым подмногообразием, трансверсально пересекающим световую гиперповерхность. Если световая гиперповерхность гладкая, то система лучей является гладким иммерсированным подмногообразием и в пространствах низких размерностей его каустика имеет лишь конечное число особенностей, устойчивых относительно возмущений начального условия. Мы интересуемся случаем, когда световая гиперповерхность имеет особые точки, в окрестности каждой из которых она представляет собой цилиндр над обычным двумерным конусом. Световые поверхности с такими коническими особыми точками описывают геометрическую оптику линейных волн различной физической природы. Известно, что по отношению к симплектической структуре фазового пространства типичная коническая особая точка имеет одну из двух нормальных форм: эллиптическую или гиперболическую по классификации В.И.Арнольда. Для световой гиперповерхности, имеющей лишь гиперболические особые точки, мы доказываем, что в шестимерном фазовом пространстве система лучей может иметь лишь несколько различных особенностей, устойчивых относительно возмущений начального условия. Для двух из них мы приводим нормальные формы и описываем каустики в трёхмерном физическом пространстве. Для остальных ни то, ни другое пока не известны.

<<<Рассматривается автономная система дифференциальных уравнений, которая описывает взаимодействие двух слабо связанных нелинейных осцилляторов. Начальные данные таковы, что при отсутствии связи один из осцилляторов находится вдали от равновесия, а другой вблизи равновесия; при этом собственные частоты на соответствующих решениях близки. При этих условиях исследуется эффект захвата в резонанс, когда частоты связанных осцилляторов остаются близкими, а амплитуды колебаний значительно меняются со временем, в частности, второй осциллятор уходит далеко от равновесия. Выяснено, что начальный этап захвата в резонанс описывается решением уравнения Пенлеве-II. Такое описание получено в асимптотическом приближении по малому параметру, который соответствует коэффициенту связи.

<<<На семинаре будет обсуждаться проблематика разработки вычислительной технологии моделирования волн цунами несейсмического происхождения. На основе модели, построенной на базе уравнений Навье-Стокса, самой полной, в настоящий момент, системы уравнений гидродинамики будет показано, что возможно совместить все стадии расчета цунами космогенного и оползневого происхождения - источник, распространение и накат. А внедрение современных суперкомпьютерных технологий уже сегодня позволит использовать уравнения Навье-Стокса для расчета цунами в реальных акваториях Мирового Океана.

<<<Доклад посвящен изучению топологических инвариантов бездивергентных векторных полей (т.е. несжимаемых течений) на компактном 3-мерном многообразии. Мы изучаем эту задачу в двух постановках: (О) для произвольных несжимаемых течений, (И) для интегрируемых несжимаемых течений. (О) В математической физике актуальным является изучение топологических инвариантов магнитных полей, т.е. инвариантов бездивергентных векторных полей (называемых также несжимаемыми течениями) на компактной области 3-мерного евклидова пространства. Хорошо известен инвариант Хопфа --- спиральность. Согласно теореме В.И. Арнольда (1973), спиральность равна усредненному коэффициенту зацепления интегральных траекторий. Докладчику удалось доказать, что любой топологический инвариант несжимаемых течений, имеющий регулярную и непрерывную относительно $C^1$-топологии производную, выражается через спиральность. (И) В интегрируемом случае известен результат А.В. Болсинова и А.Т. Фоменко (1994). Они построили полный инвариант траекторной эквивалентности интегрируемых 3-мерных бездивергентных полей. Докладчиком изучается следующий вопрос. Существуют ли продолжимые траекторные инварианты на том или ином страте Максвелла в пространстве интегрируемых бездивергентных полей (т.е. инварианты Болсинова-Фоменко на пространстве систем на соответствующем 3-атоме, которые можно непрерывно продолжить в некоторую окрестность данного страта Максвелла до инварианта траекторной эквивалентности)? Будут сформулированы геометрические условия существования продолжимых траекторных инвариантов, построены примеры.

<<<Изучаются процессы развития линейных одномерных возмущений на слабонеоднородном стационарном фоне, т.е. на фоне, зависящем от координаты x через отношение x/L, где L - большой масштаб. Время развития возмущений T считается достаточно большим, так что возмущения успевают распространиться на расстояния, сравнимые с L и неоднородность успевает повлиять на поведение возмущений. Рассматриваются возмущения, порожденные локализованным в малой области внешним воздействием, ограниченным во времени. Предполагается, что во всей рассматриваемой области или ее части выполняются условия локальной неустойчивости, т.е. считается, что если ╚заморозить╩ параметры фона, то в некоторой области значений x/L будут существовать растущие возмущения. На основании преобразования Фурье по времени и применении метода перевала формулируется процедура нахождения асимптотики возмущений при больших значениях L и T. Показывается, что возмущения могут описываться с помощью комплексных уравнений Гамильтона, в которых функция Гамильтона √ это частота, выраженная из дисперсионного уравнения как функция волнового числа и координаты, эти величины в случае локальной неустойчивости комплексны. Рассматривается связь полученной асимптотики с собственными функциями задачи.

<<<Рассматривается обобщённая задача Коши для потенциальной модели цунами с разрывным цилиндрическим импульсным источником в предположении, что глубина жидкости постоянная. Получено решение задачи в виде однократного интеграла, дающего высоту волн в любой точке наблюдения в любой момент времени после импульсного действия источника. По выведенному решению строился ряд мареограмм с временной историей высоты волн на разных расстояниях от источника для интервалов времени, в течение которых происходит основное изменение высоты головных волн. Характеристические параметры задачи выбирались теми же, какие были подобраны в аналогичной модели головных волн цунами 11 марта 2011 г., но с гладким, так называемым "простым", источником; была изменена лишь максимальная высота подъёма дна в центре источника. Построенные мареограммы сравниваютчя с таковыми, построенными для "простого" источника.

<<<Рассматривается задача на собственные значения для возмущенного двумерного осциллятора в случае резонанса частот. Возбуждающий потенциал задается интегральной нелинейностью типа Хартри с гладким потенциалом самодействия. На примере этой задачи излагается общий метод построения асимптотических решений вблизи границ спектральных кластеров, которые образуются около уровней энергии невозмущенного оператора. Он основан на новом интегральном представлении. Для вычисления асимптотических собственных значений используются асимптотические формулы для квантовых средних

<<<Пусть G √ компактная группа Ли, действующая на гладком компактном многообразии M. Если X √ гладкое компактное подмногообразие M и D √ оператор на M, ассоциированный с группой G, то можно определить след оператора D на подмногообразии X. Оказывается, полученный оператор является оператором, сосредоточенным в неподвижных точках группы G и, таким образом, не является псевдодифференциальным на X. Тем не менее, для него можно ввести понятие эллиптичности, доказать фредгольмовость и вычислить индекс.

<<<Вводится простое новое понятие усреднимых быстро меняющихся функций, на его основе строится удобная процедура осреднения, редуцирующая волновое уравнение, в котором квадрат скорости содержит быстро меняющуюся аддитивную добавку, к уравнению с медленно меняющимися коэффициентами, и с помощью этой процедуры в сочетании с известными методами построения асимптотических решений редуцированного уравнения получается асимптотическое решение задачи Коши для исходного уравнения с локализованными начальными данными, меняющимися много медленнее, чем его коэффициенты. Обсуждаются классы усреднимых функций, зависимость формы и максимально достижимой точности получаемого таким образом асимптотического решения от соотношений между имеющимися в задаче характерными масштабами, а также некоторые вопросы компьютерной реализации и применения построенной процедуры к задачам о распространении длинных волн (в частности, волн цунами) в бассейне переменной глубины. Поговорим мы и о том, как на практике проверять применимость процедуры в конкретных задачах. Излагаемые в докладе результаты являются существенным упрощением и усилением конструкции, анонсированной ранее в [1]. [1] С.Ю. Доброхотов, В.Е. Назайкинский, Б. Тироцци, Доклады РАН, 461:5, 516-520 (2015).

<<<Понятие параметров Тюрина было введено И.М.Кричевером и С.П.Новиковым в 1978-80 гг. применительно к уравнению Кадомцева-Петвиашвили, и около 2000 г. стало применяться к уравнению Книжника-Замолодчикова-Бернара, и конечномерным интегрируемым системам. С их помощью в некоторых случаях удалось эффективизировать процесс поиска решений. В 2001 И.М.Кричевер сформулировал в терминах параметров Тюрина достаточно общий "анзац" для операторов Лакса конечномерных интегрируемых систем, в том числе систем Калоджеро-Мозера и Хитчина, и доказал в общем виде существование коммутативных иерархий для таких систем, и их гамильтоновость. В частности, в этой работе получен ответ на вопрос В.Е.Захарова и А.В.Михайлова (1980 г.) о существовании интегрируемых систем со спектральным параметром на римановой поверхности. Впоследствие оказалось, что параметры Тюрина допускают значительное обобщение в терминах полупростых алгебр Ли (Ш., 2014-16 гг.), в результате чего программа И.М.Кричевера была реализована для операторов Лакса со значениями в таких алгебрах. Полученные результаты применимы к классическим волчкам, интегрируемым случаям обтекания твердого тела, упомянутым выше системам Хитчина и Калоджеро-Мозера. В докладе я собираюсь сформулировать анзац для операторов Лакса конечномерных интегрируемых систем в самом общем известном виде, ввести на них естественную структуру бесконечномерной алгебры Ли, получившей название алгебры операторов Лакса (Кричевер-Ш., 2007; Ш. 2008-2016), сформулировать теоремы существования и гамильтоновости коммутативных иерархий, дать формулу для базисных первых интегралов.

<<<В работе исследуется вопрос о существовании и асимптотическом приближении решения с движущимся переходным слоем начально-краевой задачи для уравнения реакция-диффузия-адвекция. Доказательство существования у краевых задач решений с внутренними переходными слоями основано на принципе сравнения и проводится с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств. Особенностью работы является исследование движущегося фронта при условии баланса адвекции.

<<<Рассматривается модель Шредингера--Пуассона для кристаллов. Построено основное состояние кристаллов в $R^3$ с 1D, 2D и 3D решетками [1] и $N$ ионами в элементарной ячейке. Кристаллы с 1D решетками являются моделью углеродной трубки, а кристаллы 2D решеткой являются моделью графена. Далее, мы доказываем устойчивость линеаризованной на основном состоянии динамики Шредингера--Пуассона--Ньютона для кристаллов с 3D кубической решеткой и одним ионом в элементарной ячейке [4]. Главный результат - положительность энергии для блоховских генераторов, соответствующих линеаризованным уравнениям при выполнении нового условия типа Винера на плотность заряда иона. Доказательство основывается на специальной факторизации гамильтониана. Эти блоховские генераторы являются несамосопряженными (и даже несимметрическими) операторами. Мы диагонализуем эти генераторы, применяя нашу теорию спектрального разложения гамильтоновых операторов с положительно определенной энергией [2,3], которая является бесконечномерной версией некоторых идей Гохберга и Крейна из теории параметрического резонанса. Использую эти спектральные разложения, мы устанавливаем устойчивость линеаризованной динамики кристалла. [1] A. I. Komech, On the crystal ground state in the Schr\"odinger-Poisson model, {\em SIAM J. Math. Anal.} {\bf 47} (2015), no. 2, 1001-1021. arXiv:1310.3084 [2] A. Komech, E. Kopylova, On eigenfunction expansion of solutions to the Hamilton equations, {\em J. Stat. Phys.} {\bf 154} (2014), no. 1-2, 503-521. arXiv:1308.0485 [3] A. Komech, E. Kopylova, On the eigenfunction expansion for Hamilton operators,

<<<We give Bohr-Sommerfeld quantization rules for semi-excited resonances created by a periodic orbit of hyperbolic type for Schr\"odinger type operators with a small ``Planck constant''. These resonances are defined within an analytic framework based on the semi-classical quantization of Poincar\'e map in action-angle variables. As an application we discuss ionization properties of an atom in a periodic electric field.

<<<Рассматривается линейная система уравнений, описывающих холодную плазму в торической области в трехмерном пространстве. Эта система, моделирующая прохождение лазерного пучка через камеру ТОКАМАКА, состоит из 9-ти дифференциальных уравнений в частных производных для электрического поля и скоростей электронов и ионов в заданном магнитное поле. С помощью теории комплексного ростка Маслова в достаточно эффективной форме построены асимптотические решения, описывающие гауссовы высокочастотные пучки. Решения локализованы в окрестности луча, проходящего через торическую область (камеру). Уравнения для луча учитывают плотность частиц в камере и не ╚чувствуют╩ наличия магнитного поля ввиду высокой частоты гауссова пучка; зависимость от магнитного поля содержится в векторе амплитуды электрического поля. Перед камерой ТОКАМАКА вектор амплитуды гауссова пучка такой же, как в свободном пространстве, но после камеры вектор амплитуды поворачивается под воздействием магнитного поля, причем формулы для угла поворота оказываются достаточно явными. На основе асимптотических решений составлен аналитико-численный алгоритм, позволяющий анализировать параметров магнитного поля в ТОКАМАКе.

<<<Рассматривается неустойчивость течения Куэтта-Тэйлора электропроводящей вязкой жидкости под воздействием внешних магнитных полей: осевого, азимутального и спирального, являющегося комбинацией из первых двух. Известно, что осевое магнитное поле вызывает статическую неустойчивость ламинарного течения Куэтта-Тэйлора по отношению к осесимметричным возмущениям. Эта неустойчивость, открытая Е.П. Велиховым в 1959 году, носит название (стандартной) магнитовращательной неустойчивости. С 1991 года в астрофизике общепринято считать стандартную магнитовращательную неустойчивость Велихова основной причиной возникновения турбулентности в аккреционных дисках. Численное моделирование этого явления доступно пока лишь в ограниченном диапазоне параметров. Важным дополнением к нему рассматривается проведение экспериментов с плазмой и жидкими металлами. Несмотря на значительные усилия, до экспериментального наблюдения стандартной магнитовращательной неустойчивости Велихова пока далеко. Напротив, при наличии азимутальной составляющей у магнитного поля возникают новые типы магнитовращательной неустойчивости, которые были обнаружены в экспериментах с жидкими металлами (галинстан) в 2006 и в 2014 годах. Но, из-за специфической радиальной зависимости азимутального магнитного поля в этих экспериментах, течение Куэтта-Тэйлора с важным для астрофизики квази-Кеплеровским радиальным профилем угловой скорости оказалось устойчивым. Теория, предложенная в 2006 году Принстонской лабораторией физики плазмы, объясняет эту устойчивость существованием так называемого предела Лю, ограничивающего выбор гидродинамически устойчивых радиальных профилей угловой скорости, становящихся неустойчивыми в азимутальных и спиральных полях, и исключающим, таким образом, квази-Кеплеровские течения. В настоящем докладе, мы расскажем, как преодолеть предел Лю, чтобы наблюдать азимутальную и спиральную магнитовращательную неустойчивость квази-Кеплеровых течений Куэтта-Тэйлора на новой экспериментальной установке в рамках проекта ДРЕЗДИН.

<<<В докладе будет рассказано про новый способ вычисления степенных по параметру h асимптотик нижних собственных значений оператора Шредингера (т.е. отвечающих приближению гармонического осциллятора). Подход основан на формальной конструкции нормальной формы в некоммутативной алгебре, которая переходит в классическую нормальную форму Биркгофа применением некоторого гомоморфизма. В качестве приложения рассматривается задача о восстановлении потенциала одномерного оператора Шредингера по асимптотике двух собственных значений.

<<<Число энергетических уровней одночастичного гамильтониана, не превышающих заданной величины E, для Бозе-газов, обычно встречающихся в физике (в том числе и для газов дробной размерности, рассматриваемых в новейшем цикле работ В. П. Маслова), растет степенным образом при стремлении E к бесконечности. Однако в некоторых задачах теории динамических систем на графах и декорированных графах естественным образом возникает потребность в вычислении числа состояний и энтропии Бозе-газа, у которого такая считающая функция растет экспоненциально. В докладе будут предъявлены соответствующие асимптотические формулы и продемонстрирован обнаруженный авторами важный эффект, не имеющий аналога в "классических" Бозе-газах: температура такого "экспоненциального газа" не может превышать некоторого вполне определенного предельного значения, при подходе к которому полная энергия газа неограниченно возрастает.

<<<По мареограммам, полученным на станции DART 21418 и на IVATE GPS BUOY, приближенно определены географическиекоординаты эпицентра источника цунами 2011г. Использовались подходы геометрической оптики. Источник был принят точечным, а скорость распространения фронта волны цунами считалась подчиненной закону Грина для двумерного случая с учетом реальной батиметрии океана. Приведены 3 результата расчета. По мнению авторов самым точным является тот, который получен путем решения соответствующей системы Гамильтона. Он сопоставлен с координатами гипоцентра вызвавшего цунами землетрясения, найденными численно в работах Канамори, Сато, Саито и других авторов.

<<<Обычно в задачах распространения гравитационных поверхностных волн дно бассейна предполагается жестким. Много лет назад Подъяпольский предложил учитывать упругие свойства основания, рассматривая совместное распространение волн и в слое жидкости и в упругом основании. Подъяпольский показал, что для длинных волн учет влияния упругого основания приводит к уменьшению скорости распространения фронта на ~15 % (если основание гранит и базальт). Мы анализируем влияние упругого основания на дисперсионные эффекты и показываем, что это влияние в модели Подъяпольского может уменьшить "стандартную'' водяную дисперсию в 2-3 раза.

<<<Недавно предложенное интегральное представление канонического оператора Маслова опирается на специальный класс координат на лагранжевых многообразиях --- эйконал-координаты --- и в ряде задач (в частности, в задачах о распространении волн от локализованного источника) приводит к формулам для решения, более удобным, чем стандартные. Однако такие координаты существуют лишь тогда, когда форма pdx на лагранжевом многообразии невырождена. В докладе предлагается универсальное представление канонического оператора, которое --- пригодно для произвольного лагранжева многообразия и может быть построено на основе любой системы локальных координат на нем; --- задается явными формулами, удобными для алгоритмической реализации в системе Wolfram Mathematica; --- содержит стандартное представление и представление через эйконал-координаты как частные случаи. Доклад основан на совместной работе С.Ю.Доброхотова, А.И.Шафаревича и автора

<<<В докладе рассматривается задача о построении квазиклассической асимптотики дискретного спектра и соответствующих стационарных состояний одномерного оператора Шредингера при резонансном туннелировании. Рассмотрены две основных модели: туннелирование в несимметричном двуямном потенциале на прямой и "импульсное" туннелирование частицы в потенциальном поле на окружности. Для несимметричного двуямного потенциала построен критерий возникновения туннельного резонанса, получены необходимые и достаточные условия билокализации стационарных состояний. В случае высоких энергетических уровней и для энергий, близких к положениям равновесия потенциала, построены явные асимптотические формулы для величины туннельного расщепления. Для задачи об импульсном туннелировании частицы на окружности построена общая формула для величины туннельного расщепления, применимая как в случае аналитического потенциала, так и для потенциала конечной гладкости.

<<<Дано приближенное решение обратной задачи цунами, в которой за исходные данные взяты: мареограмма с первой регистраций Японского цунами 11 марта 2011 г. на станции DART 21418 и время первой регистрации цунами на South Ivate GPS buoy. Применена потенциальная модель с простым источником поршневого типа. Для него получены оценки географических координат эпицентра и двух характеристических параметров.

<<<Доклад посвящен обзору современных методов и недавних результатов, связанных с асимптотиками полиномиальных последовательностей. Разные способы задания многочленов (например, соотношения ортогональности, рекуррентные соотношения или экстремальные свойства) требуют привлечения различных методик для их асимптотического анализа. Мы, вкратце, остановимся на проекционном методе Видома (для экстремальных многочленов), методе матричной задачи Римана-Гильберта (для комплексно ортогональных многочленов), методе глобальных асимптотик для полиномиальных решений рекуррентных соотношений. В качестве приложений современных асимптотических техник мы расскажем о решении проблемы Стеклова о росте на интервале ортогональности многочленов, ортонормированных относительно отделенного от нуля веса; об асимптотиках точных констант в скорости рациональных аппроксимаций аналитических функций и точных констант в неравенствах Маркова в интегральных нормах с классическими весами.

<<<Рассматривается линеаризованная система уравнений для волн в случае, когда дно бассейна представлено быстро осциллирующей функцией на фоне медленных изменений дна бассейна. Пусть d - характерная глубина, L - характерный размер медленных изменений дна бассейна, h=d/L - малый параметр. Предполагается, что в безразмерных переменных x'=x/L, z'=z/d уравнение дна бассейна имеет вид z'=D'(x',theta(x')/epsilon), где D'(x',y) - положительная ограниченная функция с ограниченными производными, периодическая по y_1, y_2 с периодом 2pi, epsilon - малый параметр. epsilon>>h (т.е. характерная длина осцилляций дна бассейна l_1 много больше d). Рассматриваются волны с характерной длиной l порядка l_1 или больше. Случай h=epsilon^2 рассматривался в статье: В.В. Грушин, С.Ю. Доброхотов Мат.зам. 96:3 2014. В докладе рассматривается случай h=epsilon^(3/2). В уравнении epsilon^2 eta_{tt}+L eta=0 для превышения свободной поверхности воды eta по сравнению со случаем h=epsilon^2 появляются 8 новых членов порядка epsilon (уравнение записано в безразмерных переменных).

<<<We present a method for computing full asymptotics of semiclassical discrete spectra for a self-adjoint one-dimensional h-Pseudodifferential operator H(x,hD_x;h). When H(x,hD_x;h) satisfies PT symmetry and its symbol has real principal part, it turns out to be conjugated with an operator whose Weyl symbol has real asymptotic expansion to all orders, so we are reduced formally to the self-adjoint case, except that the energies we compute this way may belong to the pseudo-spectrum. We outline also an application of this method to Bogoliubov-de Gennes Hamiltonian system.

<<<Рассматривается линейная система теории поверхностных волн на воде в бассейне с быстроосциллирующими участками дна. С помощью теории функций от некоммутирующих операторов выводятся редуцированные дифференциальные и псевдодифференциальные уравнения с гладкими (не осциллирующими) коэффициентами, описывающие распространение волновых пакетов и локализованных в начальный момент времени возмущений. Эти уравнения содержат два типа дисперсионных слагаемых, одно связано с "классической" водяной дисперсией, а второе - с осцилляциями дна бассейна. Несмотря на довольно сложные вычисления, форма редуцированного уравнения получается достатjчно простой, что позволяет эффективно оценить вклад как одной, так и другой дисперсии, и, в частности, оценить вклад этих "дисперсий" в задачах о распространении длинных волн.

<<<В данной работе с использованием глубоководных записей DART и данных прибрежных измерений уровня моря на базе ИМГиГ ДВО РАН и Сахалинской службы предупреждения о цунами (СПЦ), а также на основе численного моделирования распространения цунами в открытом океане и на шельфе о. Сахалин и Южных Курил, исследовались особенности сильнейших цунами, происшедших после 2004 г. Также рассматривался ряд слабых цунами, зарегистрированных в открытом океане для изучения их физических особенностей и анализа дисперсионных эффектов.

<<<Рассматривается идеальный газ, подчиняющийся парастатистическому распределению (статистике Джентиля) в пространстве дробной размерности. Зависимость максимальных чисел заполнения от температуры определяется из условия на критической изохоре. На примере сравнения с моделью ван-дер-Ваальса показано, что такой газ качественно описывает поведение реальных газов около критической точки, а также при сверхкритических температурах и плотностях вплоть до критической. В частности идеальный парастатистический газ показывает как отрицательные, так и положительные отклонения фактора сжимаемости от единицы (от идеального газа Больцмана).

<<<Рассматривается некоторый двумерный оператор Шредингера с периодическим по одной переменной потенциалом в квазиклассическом приближении. Будет показано, что для вычисления асимптотики ширины нижних спектральных зон может быть использована хорошо известная теория для двумерной симметричной двойной ямы. Также будут выведены дисперсионные соотношения (зависимость энергии от квазиимпульса). Вычисления опираются на туннельную теорию Элффера и Сйостранда,с которой слушатели также будут познакомлены.

<<<В докладе будут изложены новые результаты о 1. Довольно-таки широком классе гиперболических операторов, вырождающихся на границе области в пространстве 2. Пространствах Соболева с вырождением на границе, в которых корректна задача Коши для таких операторов 3. Фазовом пространстве, отвечающем указанному классу операторов 4. Каноническом операторе на лагранжевых подмногообразиях этого фазового пространства, доставляющем асимптотические решения таких задач Коши

<<<В случае дна постоянного уклона Кариер и Гринспен свели нелинейную 1D систему мелкой воды к линейной, что позволило исследовать набег волны (например, волны цунами) на берег и отражение. Если дно слабо отличается от дна постоянного уклона, то можно строить асимптотики методом регулярной теории возмущений. С точки зрения постановки задачи, можно рассматривать задачу Коши или задавать краевое условие на большой глубине.